label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
יהי \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|,\angle\right)\) מרחב קרנות.
1.1 מצולעים
הגדרה 1.1. מצולע ב-\(\MKbbg\) הוא גרף לא מכוון \(G:=\left(V,E\right)\) כך ש-\(V\subseteq\MKbbg\), המקיים את שלושת התנאים הבאים:
\(V\) היא קבוצה מישורית.
\(G\) הוא מעגל אוילר פשוט, כלומר קיים מעגל אוילר פשוט \(\left(\MKseqz v,n\right)\) כך ש-\(V=\left\{ \MKseqz v,n\right\} \).
לכל \(v_{1},v_{2},v_{2},v_{4}\in V\), כך ש-\(\left\{ v_{1},v_{2}\right\} \in E\) ו-\(\left\{ v_{3},v_{4}\right\} \in E\), מתקיים \(\left[v_{1}.v_{2}\right]\cap\left[v_{3},v_{4}\right]=\emptyset\).
מסקנה 1.2. לכל מצולע יש לפחות שלושה קודקודים שונים.
\(\clubsuit\)
נוהגים לכנות מצולע בעל \(10\) צלעות ומטה לפי מספר הצלעות שלו: מְשֻׁלָּשׁ, מְרֻבָּע, מְחֻמָּשׁ, מְשֻׁשֶּׁה, מְשֻׁבָּע, מְתֻמָּן, מְתֻשָּׁע וּמְעֻשָּׂר.
סימון:
נוהגים לסמן מצולע \(\left(V,E\right)\) ע"י כתיבת כל הקודקודים שלו ברצף (למשל כך: \(ABCDE\)), כאשר בין כל שני קודקודים סמוכים ברצף מחברת צלע, וגם בין הקודקוד הראשון לאחרון מחברת צלע.
הגדרה 1.3. יהי \(\left(V,E\right)\) מצולע, האורך של צלע \(e\in E\) הוא המרחק בין שני הקודקודים המרכיבים אותה.
הגדרה 1.4. ההיקף של מצולע \(\left(V,E\right)\) הוא סכום אורכי הצלעות שלו.
מסקנה 1.5. לכל שלוש נקודות \(A,B,C\in\MKbbx\) שאינן קוויות, קיים מצולע יחיד \(\left(V,E\right)\) כך ש-\(V=\left\{ A,B,C\right\} \).
סימון:
לכל שלוש נקודות \(A,B,C\in\MKbbx\) שאינן קוויות, נסמן ב-\(\triangle ABC\) את אותו מצולע יחיד, וכפי שהזכרנו נקרא למצולע כזה משולש.
מסקנה 1.6. האורך של כל שתי צלעות במשולש גדול ממש מאורך הצלע השלישית.
1.2 דמיון
סימון:
כאשר נסמן פונקציה כלשהי ב-"\(\sim\)", נסמן גם \(\tilde{X}:=\sim\left(X\right)\) לכל \(X\) בתחום ההגדרה של \(\sim\).
הגדרה 1.7. שתי קבוצות \(S,T\subseteq\MKbbx\) תיקראנה דומות, אם קיימת פונקציה חח"ע ועל \(\sim:S\rightarrow T\), המקיימת שלכל \(A,B,O\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\), מתקיים:\[
\angle AOB=\angle\tilde{A}\tilde{O}\tilde{B}
\]פונקציה כזו תיקרא דמיון בין \(S\) ל-\(T\).
מסקנה 1.8. העוצמה של כל שתי קבוצות דומות זהה.
מסקנה 1.9. הפונקציה ההופכית של דמיון גם היא דמיון.
מסקנה 1.10. דמיון הוא יחס שקילות.
הגדרה 1.11. נאמר ששני מצולעים \(\left(V,E\right)\) ו-\(\left(V',E'\right)\) הם דומים, אם קיים דמיון \(\sim:V\rightarrow V'\) כך שלכל \(v,w\in V\) המקיימים \(\left\{ v,w\right\} \in E\) מתקיים \(\left\{ \tilde{v},\tilde{w}\right\} \in E'\); ובמקרה כזה אותו דמיון ייקרא דמיון מצולעים בין \(\left(V,E\right)\) ל-\(\left(V',E'\right)\).
סימון:
נסמן ששני מצולעים \(\MKseq A{}n\) ו-\(\MKseq B{}n\) הם דומים ע"י \(\MKseq A{}n\sim\MKseq B{}n\), כאשר הדמיון נעשה ע"י פונקציית דמיון1פונקציה זו אינה מסומנת בהכרח ב-"\(\sim\)", כאן מדובר בסימון קבוע לדמיון. המעתיקה את \(A_{i}\) ל-\(B_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
מסקנה 1.12. לכל שני מצולעים דומים יש מספר קודקודים זהה.
מסקנה 1.13. הפונקציה ההופכית של דמיון מצולעים גם היא דמיון מצולעים.
מסקנה 1.14. דמיון מצולעים הוא יחס שקילות.
1.3 חפיפה
הגדרה 1.15. שתי קבוצות דומות \(S,T\subseteq\MKbbx\) תיקראנה חופפות, אם קיים דמיון \(\sim:S\rightarrow T\) כך שלכל \(A,B\in S\) מתקיים:\[
\left|AB\right|=\left|\tilde{A}\tilde{B}\right|
\]פונקציה כזו תיקרא חפיפה בין \(S\) ל-\(T\).
מסקנה 1.16. הפונקציה ההופכית של חפיפה גם היא חפיפה.
מסקנה 1.17. חפיפה היא יחס שקילות.
הגדרה 1.18. נאמר ששני מצולעים \(\left(V,E\right)\) ו-\(\left(V',E'\right)\) הם חופפים, אם קיימת חפיפה \(\sim:V\rightarrow V'\) כך שלכל \(v,w\in V\) המקיימים \(\left\{ v,w\right\} \in E\) מתקיים \(\left\{ \tilde{v},\tilde{w}\right\} \in E'\); ובמקרה כזה אותה חפיפה תיקרא חפיפת מצולעים בין \(\left(V,E\right)\) ל-\(\left(V',E'\right)\).
מסקנה 1.19. לשני מצולעים חופפים יש היקף זהה.
סימון:
נסמן ששני מצולעים \(\MKseq A{}n\) ו-\(\MKseq B{}n\) הם חופפים ע"י \(\MKseq A{}n\cong\MKseq B{}n\), כאשר החפיפה נעשית ע"י פונקציית חפיפה המעתיקה את \(A_{i}\) ל-\(B_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
מסקנה 1.20. הפונקציה ההופכית של חפיפת מצולעים גם היא חפיפת מצולעים.
מסקנה 1.21. חפיפת מצולעים היא יחס שקילות.
2 פונקציית זווית ומשפטי החפיפה
הגדרה 2.1. פונקציית זווית יהי \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|,\measuredangle\right)\) מרחב קרנות, נאמר ש-\(\measuredangle\) היא פונקציית זווית על \(\left(\MKbbx,\left|\cdot\right|\right)\) אם היא מקיימת את אקסיומת המישוריות, ובנוסף מקיימת את הפסוק הבא (נקרא "הקשר בין זווית למרחק"): לכל שש נקודות \(A,B,O,A',B',O'\in\MKbbg\) כך ש-\(A,B\) שונות מ-\(O\) ו-\(A',B'\) שונות מ-\(O'\), ובנוסף \(\left|AO\right|=\left|A'O'\right|\) ו-\(\left|BO\right|=\left|B'O'\right|\), מתקיים:\[
\left|AB\right|<\left|A'B'\right|\Longleftrightarrow\measuredangle AOB<\measuredangle A'O'B'
\]
הגדרה 2.2. מרחב קרנות \(\left(\MKbbg,\left|\cdot\right|,\measuredangle\right)\) ייקרא גאומטריה אם \(\measuredangle\) היא פונקציית זווית על \(\left(\MKbbg,\left|\cdot\right|\right)\).
תהא \(\left(\MKbbg,\left|\cdot\right|,\measuredangle\right)\) גאומטריה שיש בה שלוש נקודות שאינן קוויות.
מסקנה 2.3. צלע-צלע-צלע\(\:\) יהיו \(\triangle ABC\) ו-\(\triangle A'B'C'\) שני משולשים; אם \(\left|AB\right|=\left|A'B'\right|\), \(\left|BC\right|=\left|B'C'\right|\) וגם \(\left|CA\right|=\left|C'A'\right|\), אז \(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\).
הוכחה. נניח שאורכי הצלעות של המשולשים שווים זה לזה כנ"ל, ונניח בשלילה שאחת משלוש הזוויות במשולש \(\triangle ABC\) אינה שווה לזווית המתאימה במשולש \(\triangle A'B'C'\). כמו כן, נניח בהג"כ שזוהי \(\measuredangle ABC\) (כלומר \(\measuredangle ABC\neq\measuredangle A'B'C'\)). וש-\(\measuredangle ABC<\measuredangle A'B'C'\). ע"פ הקשר בין זווית למרחק מתקיים \(\left|AC\right|<\left|A'C'\right|\) בסתירה להנחה.
מסקנה 2.4. צלע-זווית-צלע\(\:\) יהיו \(\triangle ABC\) ו-\(\triangle A'B'C'\) שני משולשים; אם \(\left|AB\right|=\left|A'B'\right|\), \(\measuredangle ABC=\measuredangle A'B'C'\) וגם \(\left|BC\right|=\left|B'C'\right|\), אז \(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\).
הוכחה. נניח ש-\(\left|AB\right|=\left|A'B'\right|\), \(\left|BC\right|=\left|B'C'\right|\) וגם \(\measuredangle ABC=\measuredangle A'B'C'\). מהקשר בין זווית למרחק נובע ש-\(\left|AC\right|=\left|A'C'\right|\), ולכן ע"פ משפט SSS מתקיים \(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\).
מסקנה 2.5. זווית-צלע-זווית\(\:\) יהיו \(\triangle ABC\) ו-\(\triangle A'B'C'\) שני משולשים; אם \(\measuredangle ABC=\measuredangle A'B'C'\), \(\left|AB\right|=\left|A'B'\right|\) וגם \(\measuredangle BAC=\measuredangle B'A'C'\), אז \(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\).
הוכחה. נניח ש-\(\measuredangle ABC=\measuredangle A'B'C'\), \(\left|AB\right|=\left|A'B'\right|\) וגם \(\measuredangle BAC=\measuredangle B'A'C'\), ונניח בשלילה ש-\(\triangle ABC\ncong\triangle A'B'C'\). מכאן ש-\(\left|AC\right|\neq\left|A'C'\right|\) וגם \(\left|BC\right|\neq\left|B'C'\right|\), שכן אחרת נקבל ממשפט SAS ש-\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\). כעת נניח בהג"כ ש-\(\left|AC\right|<\left|A'C'\right|\), ותהא \(D\in\MKbbg\) כך ש-\(\left|AD\right|=\left|A'C'\right|\) ו-\(\left|CD\right|=\left|A'C'\right|-\left|AC\right|\)2הקיום של \(D\) נובע מהשלמות הקווית של הגאומטריה.. משוויונות המשולש המנוון נובע ש-\(C\) נמצאת בין \(A\) ל-\(D\), ולפיכך \(\measuredangle BAC=\measuredangle BAD\). כעת נקבל ממשפט SAS ש-\(\triangle ABD\cong\triangle A'B'C'\), ובפרט \(\measuredangle ABD=\measuredangle A'B'C'=\measuredangle ABC\). מצד שני, ראינו בחלק הקודם שמהיות \(C\) בין \(A\) ל-\(D\) נובע ש-\(\measuredangle ABD=\measuredangle ABC+\measuredangle CBD\), אם כן קיבלנו ש-\(\measuredangle CBD=0\) ומכאן ש-\(D\in L_{BC}\); אך זה עומד בסתירה לכך שלישרים \(L_{AC}\) ו-\(L_{BC}\) יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת. מכאן שהנחת השלילה שאינה נכונה ו-\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\).
מסקנה 2.6. זווית-צלע-זווית - המשפט המורחב תהיינה \(A,B,C,D\in\MKbbg\) ארבע נקודות כך ש-\(C\) ו-\(D\) נמצאות באותו צד של הישר \(L_{AB}\). אם קיים משולש \(\triangle A'B'C'\) כך ש-\(\measuredangle ABC=\measuredangle A'B'C'\), \(\left|AB\right|=\left|A'B'\right|\) וגם \(\measuredangle BAD=\measuredangle B'A'C'\), אז קיימת נקודה \(E\in\MKbbg\) כך ש-\(\triangle ABE\cong\triangle A'B'C'\).
הוכחה. צריך להוכיח.
3 משולשים
תהא \(\left(\MKbbg,\left|\cdot\right|,\measuredangle\right)\) גאומטריה שיש בה שלוש נקודות שאינן קוויות.
סימון:
לכל \(A,B\in\MKbbg\) נסמן \(AB:=\left[A,B\right]\).
הגדרה 3.1. יהי \(\triangle ABC\) משולש.
תיכון לצלע \(BC\) הוא קטע \(AD\) כאשר \(D\in L_{BC}\) היא נקודה המקיימת \(\left|BD\right|=\left|CD\right|\).
חוצה-זווית של הזווית \(\measuredangle BAC\) הוא קטע \(AD\), כאשר \(D\in L_{BC}\) המקיים \(\measuredangle BAD=\measuredangle CAD\).
גובה לצלע \(BC\) הוא קטע \(AD\) כאשר \(D\in L_{BC}\) היא נקודה המקיימת שהזוויות \(\measuredangle ADB\) ו-\(\measuredangle ADC\) ישרות.
מסקנה 3.2. יהי \(\triangle ABC\) משולש.
קיימת נקודה יחידה \(D\in L_{BC}\) כך ש-\(AD\) הוא תיכון לצלע \(BC\).
קיימת נקודה יחידה \( \)
הגדרה 3.3. יהי \(\triangle ABC\) משולש.
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש שווה-צלעות אם שלוש צלעותיו באורך זהה.
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש שווה-שוקיים אם יש לו זוג צלעות שאורכן זהה. במקרה כזה כל אחד זוג צלעות זה ייקרא שוק, הצלע השלישית תיקרא בסיס, הזווית המשותפת לשתי השוקיים תיקרא זווית הראש, ושתי הזוויות האחרות תיקראנה זוויות הבסיס.
נאמר ש-\(\triangle ABC\) הוא משולש שונה-צלעות אם שלוש צלעותיו בעלות אורכים שונים זו מזו.
משפט 3.4. אפיון משולשים שווה-שוקיים יהי \(\triangle ABC\) משולש, התנאים הבאים שקולים:
\(\triangle ABC\) הוא משולש שווה-שוקיים (\(\left|AB\right|=\left|AC\right|\)).
זוויות הבסיס שוות, כלומר \(\measuredangle ABC=\measuredangle ACB\).
הגדרה 4.1. יהיו \(L_{1},L_{2}\subseteq\MKbbg\) שני ישרים.
נאמר ששני \(L_{1}\) ו-\(L_{2}\)נחתכים אם \(L_{1}\cap L_{2}\neq\emptyset\) (ראינו לעיל שבמקרה כזה יש להם נקודת חיתוך יחידה).
נאמר ש-\(L_{1}\) ו-\(L_{2}\)מקבילים אם הם אינם נחתכים והאיחוד \(L_{1}\cup L_{2}\) הוא קבוצה מישורית.
למה 4.2. יהיו \(L_{1},L_{2}\subseteq\MKbbg\) שני ישרים שונים הנחתכים ע"י ישר שלישי \(L_{3}\), אם \(L_{1}\cup L_{3}\) מישורית אז גם \(L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}\) היא קבוצה מישורית.
הגדרה 4.3. יהיו \(L_{1},L_{2}\subseteq\MKbbg\) שני ישרים שונים הנחתכים ע"י ישר שלישי \(L_{3}\), ותהיינה \(O_{1},O_{2}\) נקודות החיתוך של \(L_{1}\) ו-\(L_{2}\) עם \(L_{3}\) (בהתאמה), ותהא \(P\in L_{3}\) כך ש-\(O_{2}\in\left(O_{1},P\right)\). נניח ש-\(L_{1}\cup L_{2}\) היא קבוצה מישורית, תהיינה \(A\in L_{1}\) ו-\(B\in L_{2}\) שתי נקודות הנמצאות באותו צד של \(L_{3}\), ותהא \(C\in L_{1}\) כך ש-\(O_{1}\in\left(A,C\right)\).
כבר ראינו שהזוויות אינן תלויות בנקודות אלא בישרים, ולכן בהינתן שני ישרים הנחתכים ע"י ישר שלישי ניתן לדבר על זוגות של זוויות מתאימות/פנימיות/מתחלפות בין הישרים.
מסקנה 4.4. שני ישרים שונים הנחתכים ע"י ישר שלישי, התנאים הבאים שקולים:
כל זוג זוויות מתאימות שוות.
קיים זוג זוויות מתאימות שוות.
כל זוג זוויות מתחלפות שוות.
קיים זוג זוויות מתחלפות שוות.
הסכום של כל זוג זוויות פנימיות הוא \(\pi\).
קיים זוג זוויות פנימיות שהסכום שלהן הוא \(\pi\).
משפט 4.5. שני ישרים \(L_{1},L_{2}\subseteq\MKbbg\) נחתכים ע"י ישר שלישי \(L_{3}\subseteq\MKbbg\), אם כל זוג זוויות מתאימות שוות זו לזו אז הישרים \(L_{1}\) ו-\(L_{2}\) מקבילים.
\(\clubsuit\)
משפט זה הוא הדרך הפורמלית לומר ששני ישרים בעלי "כיוון" זהה הם ישרים מקבילים.
\(\clubsuit\)
נשים לב: אי אפשר להסיק מכאן את הכיוון ההפוך - שאם קיים זוג זוויות מתאימות שאינן שוות אז הישרים נחתכים (זוהי אקסיומת המקבילים הידועה).
הוכחה. צריך להוכיח.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?אתם מוזמנים לתת טיפ.להורדה כ-PDF:
#scrollButton {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
z-index: 1;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקה
{"prefetch":[{"source":"document","where":{"and":[{"href_matches":"\/*"},{"not":{"href_matches":["\/wp-*.php","\/wp-admin\/*","\/wp-content\/uploads\/*","\/wp-content\/*","\/wp-content\/plugins\/*","\/wp-content\/themes\/twentytwentyfive\/*","\/*\\?(.+)"]}},{"not":{"selector_matches":"a[rel~=\"nofollow\"]"}},{"not":{"selector_matches":".no-prefetch, .no-prefetch a"}}]},"eagerness":"conservative"}]}
דף הביתתרומהשיעורים פרטייםמפת אתראודותREADMEהתנצלותו של המתמטיקאיהקדשהאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםיסודותצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.id = 'wp-skip-link';
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerText = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );